Question

如图，直线PR⊥⊙O的半径OB于E，PQ切⊙O于Q，BQ交直线PR于R．
（1）如图1，点E在半径OB上，求证：PR=PQ．
（2）如图2，若O与E重合，PR交⊙O于点C，A两点，当sin

1

2

∠P=

17

17

时，求tan∠C的值．

Answer 1

考点：切线的性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）连接OQ，根据切线的性质证出∠PRQ=∠PQR，得到PQ=PR；
（2）连接AB，过O作RH⊥AB于点H，作PG⊥RQ于点G，构造直角三角形，根据三角函数的定义解答即可．

解答：（1）证明：连接OQ，如图3，
∵OB，OQ是⊙O的半径．
∴∠B=∠OQB，
又∵PQ为⊙O的切线，
∴∠PQB+∠OQB=90°，
又∵PE⊥OB．
∴∠B+∠ERB=∠OQB+∠PRQ，
=∠OQB+∠PQR=90°．
∴∠PRQ=∠PQR，
∴PQ=PR．                 
（2）连接AB，过O作RH⊥AB于点H，作PG⊥RQ于点G，如图4．
由（1）可知PQ=PR，PQ为⊙O的切线，
∴∠RPG=

1

2

∠QPR=∠OBR．
由sin

1

2

∠P=

17

17

=sin∠OBR，可以设OR=t，
则  BR=

17

t，OB=4t，RA=3t．
而∠BAC=

1

2

∠BOC=45°．
∴AB=4

2

t．
∴RH=

3

2

2

t=AH．BH=

5

2

2

t，
∴tan∠C=tan∠QBA=

RH

BH

=

3 2 2 t

5 2 2 t

=

3

5

．

点评：本题考查了切线的性质、解直角三角形，难度较大，需要做出相应的辅助线，并熟悉相关定义．