【题目】已知,如图1,过点E(0,-1)作平行于x轴的直线l,抛物线y=x2上的两点A、B的横坐标分别为-1和4,直线AB交y轴于点F,过点A、B分别作直线l的垂线,垂足分别为点C、D,连接CF、DF.
(1)求点A、B、F的坐标;
(2)求证:CF⊥DF;
(3)点P是抛物线y=x2对称轴右侧图象上的一动点,过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q,是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)A(-1,),B(4,4),∴F(0,1)(2)证明见解析;(3)P1(2,1)、P2(8,16)
【解析】
试题分析:(1)待定系数法求解即可.
(2)在Rt△CEF中算出△DEF边长利用勾股定理证明CF⊥DF;
(3)求存在性问题,先假设存在,看是否找到符合条件的点P的坐标,此题分两种情况;(1)Rt△QPO∽Rt△CFD;(2)Rt△OPQ∽Rt△CFD,根据比例求出P点坐标.
试题解析:(1)如图1,
当x=-1时,y=;当x=4时,y=4
∴A(-1,),B(4,4)
设直线AB的解析式为y=kx+b
则,解得
∴直线AB的解析式为y=x+1
当x=0时,y=1
∴F(0,1)
(2)在Rt△CEF中,CE=1,EF=2,
根据勾股定理得:CF2=CE2+EF2=12+22=5,
∴CF=
在Rt△DEF中,DE=4,EF=2
∴DF2=DE2+EF2=42+22=20
∴DF=2
由(1)得C(-1,-1),D(4,-1)
∴CD=5
∴CD2=52=25
∴CF2+DF2=CD2
∴∠CFD=90°
∴CF⊥DF
(3)存在.如图2作PM⊥x轴,垂足为点M
又∵PQ⊥OP
∴Rt△OPM∽Rt△OQP
∴∴
设P(x,x2)(x>0),
则PM=x2,OM=x
①当Rt△QPO∽Rt△CFD时,
∴
解得x=2∴P1(2,1)
②当Rt△OPQ∽Rt△CFD时,
∴
解得x=8
∴P2(8,16)
综上,存在点P1(2,1)、P2(8,16)使得△OPQ与△CDF相似.
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【题目】小红与小刚姐弟俩做掷硬币游戏,他们两人同时各掷一枚壹元硬币.
(1)若游戏规则为:当两枚硬币落地后正面朝上时,小红赢,否则小刚赢.请用画树状图或列表的方法,求小刚赢的概率;
(2)小红认为上面的游戏规则不公平,于是把规则改为:当两枚硬币正面都朝上时,小红得8分,否则小刚得4分.那么,修改后的游戏规则公平吗?请说明理由;若不公平,请你帮他们再修改游戏规则,使游戏规则公平(不必说明理由).
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【题目】某校课题研究小组对本校九年级全体同学体育测试情况进行调查,他们随机抽查部分同学体育测试成绩(由高到低分A、B、C、D四个等级),根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图.
请根据以上不完整的统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)该课题研究小组共抽查了 名同学的体育测试成绩,扇形统计图中B级所占的百分比b= ;
(2)补全条形统计图;
(3)若该校九年级共有400名同学,请估计该校九年级同学体育测试达标(测试成绩C级以上,含C级)约有 名.
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【题目】下列调查中,最适宜采用全面调查方式(普查)的是()
A. 对重庆市中学生每天学习所用时间的调查
B. 对全国中学生心理健康现状的调查
C. 对某班学生进行6月5日是“世界环境日”知晓情况的调查
D. 对重庆市初中学生课外阅读量的调查
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【题目】一个不透明的盒子里装有120个红、黄两种颜色的小球,这些球除颜色外其他完全相同,每次摸球前先将盒子里的球摇匀任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在0.3,那么估计盒子中红球的个数为( )
A. 36 B. 48 C. 70 D. 84
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