Question

3．将直角三角板的直角顶点O放在正方形ABCD的内部，转动三角板，使其两条直角边分别与正方形的边BC，CD相交于点E，F，如图所示．
（1）当三角板转到OE⊥BC，OF⊥CD，且OE=OF的位置时，试确定点O在∠BCD的平分线上；
（2）当三角板转到仅满足OE=OF的位置时，（1）中的结论仍成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）点O在∠BCD的平分线上，理由为：利用角平分线逆定理即可得证．
（2）点O在∠BCD的平分线上，理由为：过O作OM垂直于BC，ON垂直于CD，可得出四边形OMCN为矩形，得到OM与ON垂直，由OE与OF垂直，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，OE=OF，利用AAS得出三角形OEM与三角形OFN全等，由全等三角形的对应边相等得到OM=ON，利用角平分线逆定理即可得到O在∠BCD的平分线上．

解答 解：（1）∵OE⊥BC，OF⊥CD，且OE=OF，
∴点O在∠BCD的平分线上；

（2）点O在∠BCD的平分线上，理由为：
过O作OM⊥BC，ON⊥CD，
∴∠OME=∠ONF=90°，
∵∠OMC=∠BCD=∠ONC=90°，
∴四边形OMCN为矩形，
∴∠MON=90°，
∴∠NOF+∠FOM=90°，
∵∠FOM+∠EOM=90°，
∴∠NOF=∠FOM，
在△OEM和△OFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OME=∠ONF=90°}\\{∠EOM=∠FON}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△OEM≌△OFN（AAS），
∴OM=ON，
则点O在∠BCD的平分线上．

点评 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及角平分线逆定理，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键．