Question

7．如图∠MON=120°，OP平分∠MON．点C是OP上一点，A、B分别是OM、ON上的点，∠ACB=60°．
（1）图①中，AC⊥OM，BC⊥ON，则OA+OB的值等于哪线段的长？为什么？
（2）图②中，仍保持∠ACB的度数不变，A、B的位置变了，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）OA+OB=OC，根据角平分线的定义得到∠AOC=∠BOC=60°，由垂直的定义得到∠OAC=∠OBC=90°，根据三角形的内角和得到∠ACO=∠BCO=30°，根据直角三角形的性质得到OA=$\frac{1}{2}$OC，OB=$\frac{1}{2}$OC，即可得到结论；
（2）（1）中的结论成立，过C作CF⊥OM于F，CE⊥ON于E，得到∠CFO=∠CEO=90°，根据角平分线的性质得到∠AOC=∠BOC=60°，CF=CE，求得∠FCO=∠ECO=30°，于是得到OF=$\frac{1}{2}$OC，OE=$\frac{1}{2}$OC，∠FCE=60°，推出△ACF≌△BCE，根据全等三角形的性质得到AF=BE，等量代换得到OA+OB=OE+OF=OC．

解答 解：（1）OA+OB=OC，
∵∠MON=120°，OP平分∠MON，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∵AC⊥OM，BC⊥ON，
∴∠OAC=∠OBC=90°，
∴∠ACO=∠BCO=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$OC，OB=$\frac{1}{2}$OC，
∴OA+OB=0C；

（2）（1）中的结论成立，
过C作CF⊥OM于F，CE⊥ON于E，
∴∠CFO=∠CEO=90°，
∵∠MON=120°，OP平分∠MON，
∴∠AOC=∠BOC=60°，CF=CE，
∴∠FCO=∠ECO=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OC，OE=$\frac{1}{2}$OC，∠FCE=60°，
∴OE=OF，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACF=∠BCE，
在△ACF与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠BCE}\\{CF=CE}\\{∠AFC=∠BEC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCE，
∴AF=BE，
∴OA+OB=OE+OF=OC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．