Question

12．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将△ABC折叠，使顶点B落在线段AC上的点D处，折痕为EF，如果△DEF为等腰三角形，则BE的长为4-2$\sqrt{2}$或1或2．

Answer 1

分析 根据折叠的性质得到DF=BF，BE=DE，∠FDE=∠B=45°，①当DF=DE时，则四边形DEBF是菱形，由平行线的性质得到∠DEC=∠B=45°，推出△DEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到BE=DE=$\sqrt{2}$CE，于是得到BE=4-2$\sqrt{2}$，②当DE=EF时，即BE=EF，根据折叠的性质得到D与C重合，根据线段垂直平分线的性质得到BE=$\frac{1}{2}$BC=1，③当DF=EF时，即EF=BF，点D与点A重合，E与C重合．

解答 解：∵将△ABC折叠，使顶点B落在线段AC上的点D处，
∴DF=BF，BE=DE，∠FDE=∠B=45°，
①当DF=DE时，则四边形DEBF是菱形，
∴DE∥AB，
∴∠DEC=∠B=45°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴BE=DE=$\sqrt{2}$CE，
∵BC=2，∴CE+$\sqrt{2}$CE=2，
∴CE=2$\sqrt{2}$-2，
∴BE=4-2$\sqrt{2}$，
②当DE=EF时，即BE=EF，
∵∠B=45°，∴∠FEB=90°，
∴D与C重合，
∴E是BC的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=1，
③当DF=EF时，即EF=BF，
∵∠B=45°，
∴∠FEB=45°，
∴∠EFD=90°，
∴点D与点A重合，E与C重合，
∴BE=BC=2，
故BE的长为4-2$\sqrt{2}$或1或2，．
故答案为：4-2$\sqrt{2}$或1或2．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键，注意分类讨论．