Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0），下列结论：①ab＜0，②b²＞4，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞-1时，y＞0．其中正确结论的个数是（　　）

• A、2个
• B、3个
• C、4个
• D、5个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：利用抛物线开口方向得a＜0，利用对称轴在y轴的右侧得b＞0，则可对①进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征得c=1，a-b+c=0，则b=a+c=a+1，所以0＜b＜1，于是可对②④进行判断；由于a+b+c=a+a+1+1=2a+2，利用a＜0可得a+b+c＜2，再根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（1，0）和（2，0）之间，则x=1时，函数值为正数，即a+b+c＞0，由此可对③进行判断；观察函数图象得到x＞-1时，抛物线有部分在x轴上方，有部分在x轴下方，则可对⑤进行判断．

解答：解：∵由抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∴ab＜0，所以①正确；
∵点（0，1）和（-1，0）都在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴c=1，a-b+c=0，
∴b=a+c=a+1，
而a＜0，
∴0＜b＜1，所以②错误，④正确；
∵a+b+c=a+a+1+1=2a+2，
而a＜0，
∴2a+2＜2，即a+b+c＜2，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），而抛物线的对称轴在y轴右侧，在直线x=1的左侧，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（1，0）和（2，0）之间，
∴x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，
∴0＜a+b+c＜2，所以③正确；
∵x＞-1时，抛物线有部分在x轴上方，有部分在x轴下方，
∴y＞0或y=0或y＜0，所以⑤错误．
故选B．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．