已知:如图.抛物线C1:y=ax2+4ax+c的图象开口向上.与x轴交于点A.B.与y轴交于点C.顶点为P.AB=2.且OA=OC．(1)求抛物线C1的对称轴和函数解析式,(2)把抛物线C1的图象先向右平移3个单位.再向下平移m个单位得到抛物线C2.记顶点为M.并与y轴交于点F.求抛物线C2的函数解析式,的基础上.点G是y轴上一点.当△APF与△FMG相似时.求点G� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知：如图，抛物线C₁：y=ax²+4ax+c的图象开口向上，与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P，AB=2，且OA=OC．
（1）求抛物线C₁的对称轴和函数解析式；
（2）把抛物线C₁的图象先向右平移3个单位，再向下平移m个单位得到抛物线C₂，记顶点为M，并与y轴交于点F（0，-1），求抛物线C₂的函数解析式；
（3）在（2）的基础上，点G是y轴上一点，当△APF与△FMG相似时，求点G的坐标．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据配方法，可得抛物线的对称轴，根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得A、B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据配方法，可得顶点式函数解析式，根据函数图象右移减，向下平移y减，可得y=（x+2-3）²-1+m，根据自变量的值，可得相应的函数值；
（3）分类讨论：①当△APF∽△MFG，②当△APF∽△GFM，根据相似三角形的性质，可得FG的长，再根据点点F的坐标，可得答案．

解答：解：（1）将抛物线C₁：y=ax²+4ax+c配方，得y=a（x+2）²-4a+c，
∴抛物线的对称轴是x=-2，
又AB=2，点A、点B关于x=-2对称，得

xB-xA=2

xA+xB

=-2

．解得

xA=-3

xB=-1

．
点A（-3，0），点B（-1，0）．
由OA=OC，得点C（0，3），
将A、C点的坐标代入C₁得，

-3a+c=0

c=3

．
解得

a=1

c=3

．
抛物线函数解析式y=x²+4x+3；
（2）又（1）抛物线C₁：y=x²+4x+3配方，得y=（x+2）²-1，
抛物线C₁的图象先向右平移3个单位，再向下平移m个单位得到抛物线C₂，得
y=（x+2-3）²-1+m．C₂与y轴交于点F（0，-1），得
1-1+m=-1．即m=-1．
C₂与的解析式为y=（x-1）²-2，
（3）如图：

由勾股定理，得AP=

，MF=

．由两点间的距离，得PF=2．
①当△APF∽△MFG时，

，即

．
解得FG=2，点G₁的坐标为（0，1）；
②当△APF∽△GFM，

，即

，
FG=1，点G₂的坐标（0，0）．

点评：本题考查二次函数综合题，（1）函数值相等的两点关于对称轴对称，待定系数法求函数解析式；（2）先化成顶点式，再进行平移：向右平移x减，向下平移y减；（3）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键．

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的整数有

．