Question

【题目】如图1，两块直角三角纸板（Rt△ABC和Rt△BDE）按图所示的方式摆放（重合点为B），其中∠BDE=∠ACB=90°，∠ABC=30°，BD=DE=AC=2．将△BDE绕着点B顺时针旋转．

（1）当点D在BC上时，求CD的长；

（2）当△BDE旋转到A，D，E三点共线时，求△CDE的面积；

（3）如图2，连接CD，点G是CD的中点，连接AG，求AG的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）△CDE的面积为1或2；（3），.

【解析】分析：

（1）由已知条件易得AB=2AC=4结合AC=2及∠ACB=90°可得BC=，由此可得CD=BC-BD=；

（2）根据题意分以下两种情况，画出图形，结合已知条件分析计算即可：①点D在BC上方，如图3；②点D在BC下方，如图4；

（3）如图5，取BC的中点H，连接GH、AH，由已知条件易得AH=，GH=BD=1，由题意和图可知：点G在以点H为圆心，GH为半径的⊙H上运动，点D在以B为圆心，BD为半径的⊙B上运动，由此即可得到AG的最大值和最小值.

详解：

（1）∵在△ABC中，AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，

∴AB=2AC=4，

∴BC=；

∵BD=2，点D在BC上，

∴CD=BC-BD=；

（2）①如图3，当点D在BC上方，A、D、E三点共线时，

∵A、D、E三点共线，∠BDE=90°，

∴∠ADE=90°=∠ACB，

又∵AB=BA，AC=BD，

∴△ABC≌△BAD，

∴AD=BC，

∴四边形ACBD是平行四边形，

又∵∠ACB=90°，

∴四边形ACBD是矩形，

∴；

②如图4，当点D在BC下方，A、D、E三点共线时，

∵BD=DE=AC，

∴∠BAD=∠ABC=30°，所以∠CAD=∠CBD=30°，

∵△ABC和△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，

∴A、C、D、B四点共圆，

∴∠BCD=∠ADC=30°，

∴∠BCD=∠CBD，

∴CD=DE=BD=2，

∴ ，

综上所述△CDE的面积为1或2；

（3）如图5，由题意可知，随着△BDE绕着点B进行顺时针旋转，点D的运动路线是以点B为圆心，BD为半径的圆，取BC的中点H，连接GH，AH，

∴CH=BC=，

∴AH=，

∵点G是CD中点，点H是BC的中点，

∴GH是△BCD的中位线，

∴GH=BD=1，

∴点G的运动路线是以H为圆心，1为半径的圆，

∴AG的最大值=AH+1=+1，AG的最小值=AH-1=-1.