Question

20．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．
（1）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；
（2）如图②，当α=135°时，求证：AE′=BF′，且AE′⊥BF′；
（3）直线AE′与直线BF′相交于点P，当点P在坐标轴上时，分别表示出此时点E′、D′、F′的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的长．
（2）运用全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质就可解决问题；
（3）直线AE′与直线BF′相交于点P，当点P在坐标轴上时，α=180°，P与O重合，易求出点E′、D′、F′的坐标．

解答 解：（1）当α=90°时，点E′与点F重合，如图①．
∵点A（-2，0）点B（0，2），
∴OA=OB=2，
∵点E，点F分别为OA，OB的中点，
∴OE=OF=1，
∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°得到的，
∴OE′=OE=1，OF′=OF=1．
在Rt△AE′O中，
AE′=$\sqrt{O{A}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
在Rt△BOF′中，
BF′=$\sqrt{O{B}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴AE′，BF′的长都等于$\sqrt{5}$；
（2）当α=135°时，如图②．
∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°所得，
∴∠AOE′=∠BOF′=135°．
在△AOE′和△BOF′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{∠AOE′=∠BOF′}\\{OE′=OF′}\end{array}\right.$，
∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．
∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．
∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，
∴∠CPB=∠AOC=90°，
∴AE′⊥BF′；
（3）点E′（1，0）、D′（1，-1）、F′（0，-1）
如图③，直线AE′与直线BF′相交于点P，当点P在坐标轴上时，α=180°，P与O重合，
∵OE′=OF′=1，
∴点E′（1，0）、D′（1，-1）、F′（0，-1）．

点评 本题是在图形旋转过程中，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的外角性质等知识，根据旋转的性质找到全等三角形是解决问题的关键．