Question

5．如图，顶点为A（-4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），点P在该图象上，OP交其对称轴l于点M，点M、N关于点A对称，连接PN，ON．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点P的坐标是（-6，3），求△OPN的面积；
（3）当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：
①求证：∠PNM=∠ONM；
②若△OPN为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数图象的顶点设出二次函数的关系式，再很据二次函数图象经过原点，求出a的值，即可得出二次函数的关系式；
（2）设直线OP的解析式为y=kx，将A点代入，求出直线OP的解析式，再把x=-4代入y=-$\frac{1}{2}$x，求出M的坐标，根据点M、N关于点P对称，求出N的坐标，从而得出MN的长，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
（3）①设对称轴l交x轴于点B，作PC⊥l于点C，由P在二次函数图象上，设P$（t，-\frac{1}{4}{t^2}-2t）$，再由O的坐标，表示出直线OP的解析式，进而表示出M，N及H的坐标，设对称轴l交x轴于点B，作PC⊥l于点C，构建相似三角形：△NCP∽△NBO．由相似三角形的对应角相等证得结论；
②△OPN能为直角三角形，理由为：分三种情况考虑：若∠ONP为直角，由①得到∠PNM=∠ONM=45°，可得出三角形ACN为等腰直角三角形，得到PC=CN，将表示出的PC及CN代入，得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值为0或4±$\sqrt{2}$，进而得到此时A与P重合，不合题意，故∠ONP不能为直角；若∠PON为直角，利用勾股定理得到OP²+ON²=PN²，由P的坐标，利用勾股定理表示出OP²，由OB及BN，利用勾股定理表示出ON²，由PC及CN，利用勾股定理表示出PN²，代入OP²+ON²=PN²，得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值为4±4$\sqrt{2}$或0，然后判断∠PON是否为直角；若∠NPO为直角，则有△PMN∽△BMO∽△BON，由相似得比例，将各自的值代入得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值为4，此时A与P重合，故∠NPO不能为直角，综上，点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，△OPN不能为直角三角形．

解答 （1）解：设二次函数的表达式为y=a（x+4）²+4，
把点（0，0）代入表达式，解得$a=-\frac{1}{4}$．
∴二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{4}{（x+4）^2}+4$，
即$y=-\frac{1}{4}{x^2}-2x$；

（2）解：设直线OP为y=kx（k≠0），
将P（-6，3）代入y=kx，解得$k=-\frac{1}{2}$，
∴$y=-\frac{1}{2}x$．
当x=-4时，y=2．
∴M（-4，2）．
∵点M、N关于点A对称，
∴N（-4，6）．
∴MN=4．
∴S_△PON=S_△OMN+S_△PMN=12；

（3）①证明：设点P的坐标为$（t，-\frac{1}{4}{t^2}-2t）$，
其中t＜-4，
设直线OP为y=k′x（k′≠0），
将P$（t，-\frac{1}{4}{t^2}-2t）$代入y=k′x，解得$k'=-\frac{t+8}{4}$．
∴$y=-\frac{t+8}{4}x$．
当x=-4时，y=t+8．
∴M（-4，t+8）．
∴AN=AM=4-（t+8）=-t-4．
设对称轴l交x轴于点B，作PC⊥l于点C，
则B（-4，0），C$（-4，-\frac{1}{4}{t^2}-2t）$．
∴OB=4，NB=4+（-t-4）=-t，PC=-4-t，
NC=$-t-（-\frac{1}{4}{t^2}-2t）$=$\frac{1}{4}{t^2}+t$．
则$\frac{NC}{PC}=\frac{{\frac{1}{4}{t^2}+t}}{-4-t}=-\frac{t}{4}$，$\frac{NB}{OB}=\frac{-t}{4}=-\frac{t}{4}$．
∴$\frac{NC}{PC}=\frac{NB}{OB}$．
又∵∠NCP=∠NBO=90°，
∴△NCP∽△NBO．
∴∠PNM=∠ONM．
②△OPN能为直角三角形，理由如下：
解：分三种情况考虑：
（i）若∠ONP为直角，由①得：∠PNM=∠ONM=45°，
∴△PCN为等腰直角三角形，
∴CP=NC，即m-4=$\frac{1}{4}$m²-m，
整理得：m²-8m+16=0，即（m-4）²=0，
解得：m=4，
此时点A与点P重合，故不存在P点使△OPN为直角三角形；
（ii）若∠PON为直角，根据勾股定理得：OP²+ON²=PN²，
∵OP²=m²+（-$\frac{1}{4}$m²-2m）²，ON²=4²+m²，AN²=（m-4）²+（-$\frac{1}{4}$m²-2m+m）²，
∴m²+（-$\frac{1}{4}$m²-2m）²+4²+m²=（m-4）²+（-$\frac{1}{4}$m²-2m+m）²，
整理得：m（m²-8m-16）=0，
解得：m=0或m=-4-4$\sqrt{2}$或-4+4$\sqrt{2}$（舍去），
当m=0时，P点与原点重合，故∠PON不能为直角，
当m=-4-4$\sqrt{2}$，即P（-4-4$\sqrt{2}$，4）时，N为第四象限点，成立，故∠PON能为直角；
（iii）若∠NPO为直角，可得∠NPM=∠OBM=90°，且∠PMN=∠BMO，
∴△PMN∽△BMO，
又∵∠MPN=∠OBN=90°，且∠PNM=∠OND，
∴△PMN∽△BON，
∴△PMN∽△BMO∽△BON，
∴$\frac{MB}{OB}$=$\frac{OB}{NB}$，即$\frac{8-m}{4}$=$\frac{4}{m}$，
整理得：（m-4）²=0，
解得：m=4，
此时A与P重合，故∠NPO不能为直角，
综上，点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，△OPN能为直角三角形，当m=4+4$\sqrt{2}$，即P（$-4-4\sqrt{2}，-4$）时，N为第四象限的点成立．

点评 此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，两点坐标确定一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，本题（3）中的第②小问利用的是反证法，先假设结论成立，利用逻辑推理的方法得出与已知条件，定理，公理矛盾，可得出假设错误，原结论不成立．