Question

10．如图，已知：直线y=-$\frac{1}{3}$x+1与坐标轴交于A，B两点，矩形ABCD对称中心为M，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）正好经过C，M两点，则k=4．

Answer 1

分析 根据一次函数的解析式y=-$\frac{1}{3}$x+1得到A（3，0），B（0，1），求得OA=3，OB=1，过C作CE⊥y轴于E，由四边形ABCD是矩形，得到∠CBA=90°，推出△BCE∽△ABO，得到比例式$\frac{OB}{OA}=\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{3}$，设OC=x，则BE=3x，C（x，3x+1），由于矩形ABCD对称中心为M，得到M（x+$\frac{3-x}{2}$，$\frac{3x+1}{2}$），根据反比例函数图象上点的坐标特征列方程x（3x+1）=（x+$\frac{3-x}{2}$）（$\frac{3x+1}{2}$），解得x=1，求得C（1，4），即可得到结果．

解答 解：在y=-$\frac{1}{3}$x+1中，令x=0，得y=1，令y=0，x=3，
∴A（3，0），B（0，1），
∴OA=3，OB=1，
过C作CE⊥y轴于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CBA=90°，
∴∠CBE+∠OBA=∠OBA+∠BAO=90°，
∴∠CBE=∠BAO，
∵∠BEC=∠AOB=90°，
∴△BCE∽△ABO，
∴$\frac{OB}{OA}=\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{3}$，
设BE=x，则BE=3x，
∴C（x，3x+1），
∵矩形ABCD对称中心为M，
∴M（x+$\frac{3-x}{2}$，$\frac{3x+1}{2}$），
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）正好经过C，M两点，
∴x（3x+1）=（x+$\frac{3-x}{2}$）（$\frac{3x+1}{2}$），
解得：x=1，
∴C（1，4），
∴k=1×4=4，
故答案为：4．

点评 本题考查了矩形的性质，求直线与坐标轴的交点，相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．