Question

14．已知，如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=10，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF、BF．
（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若AE=x，求△EBF的面积s关于x的函数关系式；并判断是否存在x，使△EBF的面积是△CGF面积2倍？存在，求x值；不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG=∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°，易证四边形HEFG为正方形；
（2）欲求△EBF的面积，由已知得BE的长，只需求出BE边的高，通过证明△HDG≌△FME可得；易证△HAE≌△FNG，用x表示出△CGF的面积，根据题意列方程即可．

解答 （1）证明：在△HDG和△AEH中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
在Rt△HDG和Rt△AEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{HG=HE}\\{DG=AH}\end{array}\right.$，
∴Rt△HDG≌Rt△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∴∠DHG+∠AHE=90°
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH为正方形；
（2）解：过F作FM⊥AB，垂足为M，交DC延长线于点N，连接GE，
∴FN⊥CD，
∵CD∥AB，
∴∠DGE=∠MEG，
∵GH∥EF，
∴∠HGE=∠FEG，
∴∠DGH=∠MEF，
在Rt△HDG和Rt△FME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠M=90°}\\{∠DGH=∠FEM}\\{HG=FE}\end{array}\right.$，
∴Rt△HDG≌Rt△FME，
∴DH=MF，
∴AH=2，
∴DH=MF=4，
∵AE=x，
∴BE=10-x．
∴S_△EBF=$\frac{1}{2}$BE•FM=2（10-x）=20-2x．
同理可证Rt△AHE≌Rt△FNG，
∴FN=AH=2，
∵AH=2，AE=x，
∴HE=HG=$\sqrt{A{H}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，
∴DG=$\sqrt{H{G}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4-16}$=$\sqrt{{x}^{2}-12}$，
∴CG=10-$\sqrt{{x}^{2}-12}$，
∴S_△GCF=$\frac{1}{2}$CG•FN=10-$\sqrt{{x}^{2}-12}$，
若△EBF的面积是△CGF面积2倍，则
20-2x=2（10-$\sqrt{{x}^{2}-12}$）
整理得：x²=x²-12，
此方程无解，
所以不存在x，使△EBF的面积是△CGF面积2倍．

点评 本题考查了矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线：过F作FM⊥AB，交AB延长线于M，交DC延长线于点N，连接GE，构造全等三角形和内错角．