Question

16．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D均在坐标轴上，AB∥CD
（1）求证：∠ABO+∠CDO=90°；
（2）如图2，BM平分∠ABO交x轴于点M，DN平分∠CDO交y轴于点N，求∠BMO+∠OND；
（3）如图3，延长CD到Q，使CQ=AB，连AQ交y轴于K，若A（-4，0）、B（0，3）、C（0，a）（-3＜a＜0），求$\frac{BK-OK}{OC}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的判定和性质证明即可；
（2）根据左边角的和等于右边角的和解答即可；
（3）根据平移性质和三角形面积公式进行解答．

解答 证明：（1）过点O作OE∥AB，
∵AB∥CD，
∴OE∥CD（平行公理的推论），
∴∠ABO=∠BOE，∠CDO=∠DOE，
∴∠ABO+∠CDO=∠BOE+∠DOE=∠BOD=90°；
（2）“猪蹄模型”中左边角的和等于右边角的和，即∠ABM+∠ODN=∠CDN+∠OBM，
设∠ABM=∠OBM=x，∠ODN=∠CDN=y，
∴x+y=$\frac{1}{2}$（∠ABO+∠CDO）=45°，
∴∠BMO+∠OND=x+y+90°=135°，
（3）线段CQ可看作是由线段AB平移得到，
∵A（-4，0）→C（0，a），
∴B（0，3）→D（4，3+a），
设K点的坐标为（0，y），
S_△AOQ=$\frac{1}{2}$×4×（3+a）=2（3+a），S_△AOK=2y，S_△QOK=2y，
由S_△AOQ=S_△AOK+S_△QOK，
∴2y+2y=2（3+a），解得y=$\frac{3+a}{2}$，
∴BK=3-$\frac{3+a}{2}$=$\frac{3-a}{2}$，OK=$\frac{3+a}{2}$，OC=-a，
∴$\frac{BK-OK}{OC}$=1．

点评 此题考查三角形的内角和定理，关键是根据三角形的内角和定理和平行线的判定以及性质进行解答．