Question

【题目】定义：如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“直观三角形”．

（1）抛物线y=x2的“直观三角形”是　 　．

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

（2）若抛物线y=ax2+2ax﹣3a的“直观三角形”是直角三角形，求a的值；

（3）如图，面积为12的矩形ABCO的对角线OB在x轴的正半轴上，AC与OB相交于点E，若△ABE是抛物线y=ax2+bx+c的“直观三角形”，求此抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）B；（2）a=±；（3）抛物线的解析式y=﹣x2+6x﹣24．

【解析】

按照题目中给定的“直观三角形”定义，求解，（1）证明三角形是等边三角形.(2)利用三角形是直角三角形反推a.（3）利用已知条件，列方程组求二次函数的解析式.

解：（1）设抛物线y=x2﹣2x与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，

∴A（0，0），B（2，0），D（，﹣3），

∴AD=BD=2，AB=2，

∴AB=AD=BD，

∴△ABD是等边三角形，

∴抛物线y=x2﹣2x对应的“直观三角形”是等边三角形，

故答案为：B；

（2）设抛物线y=ax2+2ax﹣3a与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，∴A（﹣3，0），B（1，0），D（﹣1，﹣4a），

∵抛物线y=ax2+2ax﹣3a对应的“直观三角形”是直角三角形，

∴AB2=AD2+BD2，

∴16=4+16a2+4+16a2，

∴a=±；

（3）如图，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AE=CE=OE=BE，

∴S△ABE=S矩形ABCD=×12=3，

∵△ABE是抛物线的“直观三角形”，

根据抛物线的对称性得，AE=AB，

∴AE=AB=BE，

∴△ABE是等边三角形，

过点A作AH⊥BE，

∴AH=ABsin∠ABE=AB=BE，

∴BE2=3，

∴BE=2，

∴AH=3，EH=，

∴A（3，3），E（2，0），B（4，0），

设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2+3，

将点E（2，0）代入得，a=﹣1，

∴y=﹣（x﹣3）2+3=﹣x2+6x﹣24．

∴过点A，B，E三点的抛物线的解析式y=﹣x2+6x﹣24．