Question

已知y关于x的函数关系式为y=（a-1）x²-2ax+a+2．
（1）上述函数的图象与x轴只有一个交点时，求交点的坐标；
（2）当此函数是二次函数时，设顶点为（m，n），求n关于m的函数关系式；
（3）y关于x的函数是二次函数，抛物线与x轴有两个交点时，顶点为（m，n），

1

m

+

1

n

=3，求值a的．

Answer 1

分析：（1）根据函数为一次函数，二次函数两种情况，分别求出函数的图象与x轴只有一个交点时，交点的坐标；
（2）由顶点坐标公式用a表示顶点坐标，再消去a，得出n关于m的函数关系式；
（3）根据抛物线与x轴有两个交点，求a的取值范围，再用a表示m、n，代入

1

m

+

1

n

=3中求a的值．

解答：解：（1）当函数为一次函数时，a-1=0，即a=1，函数式为y=-2x+3，与x轴的交点为（

3

2

，0）；
当函数为二次函数时，a-1≠0，即a≠1，
函数的图象与x轴只有一个交点，则△=（-2a）²-4（a-1）（a+2）=0，
解得a=2，函数式为y=x²-4x+4，当y=0时，x=2，
即与x轴的交点为（2，0）；

（2）由y=（a-1）x²-2ax+a+2可知，抛物线顶点横坐标为：m=-

-2a

2(a-1)

=

a

a-1

，
代入函数解析式得顶点纵坐标为n=

a-2

a-1

，则n+m=

a-2

a-1

+

a

a-1

=2，
故n=-m+2； 
      
（3）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴

a-1≠0 (-2a)2-4(a-1)(a+2)＞0

，
解得a＜2且a≠1，
将m=

a

a-1

，n=

a-2

a-1

代入

1

m

+

1

n

=3中，
得

a-1

a

+

a-1

a-2

=3，整理得a²-2a-2=0，
解得a=1±

3

，
∵a＜2且a≠1，
∴a=1-

3

．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质．关键是掌握抛物线与x轴有交点的条件，顶点坐标的求法．