Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+3的图象与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点B，A（），且△AOB∽△BOC．
（1）求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y=ax²+bx+3的关系式；
（2）在线段AC上是否存在点M（m，0）．使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意，得B（0，3），
∵△AOB∽△BOC，
∴∠OAB=∠OBC，
∴=，
∴=，
∴OC=4，∴C（4，0）；
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OBC+∠OBA=90°，
∴∠ABC=90°；
∵y=ax²+bx+3图象经过点A（-，0），C（4，0），
∴，
∴y=-x²+x+3；

（2）①如图1，当CP=CO时，点P在BM为直径的圆上，
因为BM为圆的直径，
∴∠BPM=90°，
∴PM∥AB，
∴△CPM∽△CBA，
∴CM：CA=CP：CB，
CM：6.25=4：5，
∴CM=5，
∴m=4-5=-1；
②如图2，当PC=PO时，点P在OC垂直平分线上，
得PC=BC=2.5，
由△CPM∽△CBA，得CM=，
∴m=4-=；
③当OC=OP时，M点不在线段AC上．
综上所述，m的值为或-1．
分析：（1）由二次函数y=ax²+bx+3的解析式，首先求出B点坐标，然后由△AOB∽△BOC，根据相似三角形的对应边成比例，求出OC的长度，得出C点坐标；根据相似三角形的对应角相等得出∠OAB=∠OBC，从而得出∠ABC=90°；由y=ax²+bx+3图象经过点A（-，0），C（4，0），运用待定系数法即可求出此二次函数的关系式；
（2）如果以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形，那么分三种情况讨论：①CP=CO；②PC=PO；③OC=OP．针对每一种情况，都应首先判断M点是否在线段AC上，然后根据相似三角形的对应边成比例求出m的值．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质，探究等腰三角形的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．