Question

【题目】定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形，这两个角的夹边称为对半线.

（1）如图1，在对半四边形中，，求与的度数之和；

（2）如图2，为锐角的外心，过点的直线交，于点，，，求证：四边形是对半四边形；

（3）如图3，在中，，分别是，上一点，，，为的中点，，当为对半四边形的对半线时，求的长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）5.25.

【解析】

（1）根据四边形内角和与对半四边形的定义即可求解；

（2）根据三角形外心的性质得，得到，从而求出=60°，再得到，根据对半四边形的定义即可证明；

（3）先根据为对半四边形的对半线得到，故可证明为等边三角形，再根据一线三等角得到，故，列出比例式即可求出AD，故可求解AC的长.

（1）∵四边形内角和为

∴，

∵

∴=

则，

∴

（2）连结，由三角形外心的性质可得，

所以，，

所以，

则

在四边形中，，则另两个内角之和为，

所以四边形为对半四边形；

（3）若为对半线，则，

∴

所以为等边三角形

∵

∴

又

∴

∵

∴，

∴

∵F为DE中点，

故

∴

∴