Question

15．已知x₁，x₂是方程3x²=2x+2的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
（1）（x₁-4）（x₂-4）；
（2）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$．

Answer 1

分析 方程化为一般形式3x²-2x-2=0，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{2}{3}$，x₁x₂=-$\frac{2}{3}$，再进行代数式变形：
（1）（x₁-4）（x₂-4）=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16；
（2）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$；代入求得数值即可．

解答 解：方程化为一般形式3x²-2x-2=0，
x₁+x₂=$\frac{2}{3}$，x₁x₂=-$\frac{2}{3}$．
（1）（x₁-4）（x₂-4）=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=-$\frac{2}{3}$-4×$\frac{2}{3}$+16=$\frac{38}{3}$；
（2）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-1．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．