Question

13．抛物线y=-x²+bx+c的部分图象如图所示．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）若y＞0，写出x的取值范围；
（3）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答；当直线y=-x+n（n＜1）与此图象有两个公共点时，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）待定系数法求解可得；
（2）先根据解析式求得抛物线与x轴交点，再结合图象可得y＞0时，x的范围；
（3）画出图象求出直线经过点（1，0）和（-3，0）时的n的值，结合图象可以确定n的范围，再求出直线与翻折后的抛物线只有一个交点时的n的值，可以利用方程组只有一组解△=0解决问题，由此再确定n的取值范围．

解答 解：（1）将点（0，3）、（1，0）代入y=-x²+bx+c，
得：$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-1+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴二次函数解析式为：y=-x²-2x+3；

（2）当y=0时，-x²-2x+3=0，
解得：x₁=-3，x₂=1，
∴y＞0时，x的取值范围是：-3＜x＜1；

（3）如图，

当直线y=-x+n过点（1，0）时，n=1，
当直线y=-x+n过（-3，0）时，n=-3，
∴-3＜n＜1，
当直线y=-x+n与抛物线y=x²+2x-3相切时，即x²+2x-3=-x+n只有一个实数根，
∴x²+3x-3-n=0中，△=0，
即9-4（-3-n）=0，
解得：n=-$\frac{21}{4}$，
∴n＜-$\frac{21}{4}$，
综上，n的取值范围是n＜-$\frac{21}{4}$或-3＜n＜1．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、根据二次函数图象求一元二次不等式解集和抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了抛物线与直线的交点问题．解决本题的关键是利用数形结合的思想的运用．