Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，恰与CD相切于点E，连接OD，OC，BE，
（1）若⊙O的半径为6，AD、BC的长是（x-4）（x-8）=0的两根，求△COD的面积．
（2）求证：OD∥BE．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接OE，证出Rt△OAD≌Rt△OED，Rt△COE≌Rt△COB，利用S_△COD=S_△AOD+S_△BOC即可求得△COD的面积．
（2）由Rt△OAD≌Rt△OED，得出∠AOD=∠EOD=

1

2

∠AOE，利用同弦对圆周角是圆心角的一半，得出∠ABE=

1

2

∠AOE，利用同位角相等两直线平行得到OD∥BE；

解答：（1）解：如图，连接OE，
∵AD∥BC，AD＜BC，∠ABC=90°，
∴∠OAD=90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，
在Rt△OAD和Rt△OED，

OA=OE OD=OD

，
∴Rt△OAD≌Rt△OED（HL）
同理可证：Rt△COE≌Rt△COB，
∵AD、BC的长是（x-4）（x-8）=0的两根，
∴AD=4，BC=8，
∵OA=OB=6，
∴S_△COD=S_△AOD+S_△BOC=

1

2

OA•AD+

1

2

OB•BC=

1

2

×4×6+

1

2

×8×6=36；

（2）证明：∵Rt△OAD≌Rt△OED，
∴∠AOD=∠EOD=

1

2

∠AOE，
在⊙O中，∠ABE=

1

2

∠AOE，
∴∠AOD=∠ABE，
∴OD∥BE（同位角相等，两直线平行）．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和全等三角形的判定与性质．关键是综合运用，找准线段及角的关系．