Question

如图1，ABCD是边长为1的正方形，O是正方形的中心，Q是边CD上一个动点（点Q不与点C、D重合），直线AQ与BC的延长线交于点E，AE交BD于点P．设DQ=x．

（1）填空：当x=

2

3

时，

AP

EQ

的值为

 

；
（2）如图2，直线EO交AB于点G，若BG=y，求y关于x之间的函数关系式；
（3）在第（2）小题的条件下，是否存在点Q，使得PG∥BC？若存在，求x的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：几何综合题

分析：（1）先根据平行线分相等成比例定理得出

AD

CE

=

DQ

QC

=

AQ

QE

，

AD

BE

=

AP

PE

，然后根据已知条件求得CE=

1

2

，进而求得QE=

1

3

AE，AP=

2

5

AE后即可求得；
（2）过O作OM⊥AB，ON⊥BC，根据平行线分相等成比例定理得出CE=

1-x

x

，进而求得BE=

1

x

，然后根据

GM

GB

=

OM

BE

，即可求得解析式；
（3）根据PG∥BC求得

AG

GB

=

AP

PE

=

AD

BE

，根据对应边成比例得出y=

1

x+1

，再根据（2）中求得的解析式解方程组，即可求得．

解答：解：（1）∵ABCD是边长为1的正方形，
∴AD∥BE，
∴

AD

CE

=

DQ

QC

=

AQ

QE

，

AD

BE

=

AP

PE

，
∵AD=BC=DC=1，DQ=

2

3

，
∴QC=

1

3

，
∴

1

CE

=

2 3

1 3

，
∴CE=

1

2

，

AQ

QE

=

2

1

，
∴BE=

3

2

，QE=

1

3

AE，
∴

1

3 2

=

AP

PE

，即

AP

PE

=

2

3

，
∴AP=

2

5

AE，
∴

AP

EQ

=

2AE 5

1 3 AE

=

6

5

；

（2）过O作OM⊥AB，ON⊥BC，
∵O是正方形的中心，
∴OM=MB=BN=ON=

1

2

，
∵

AD

CE

=

DQ

QC

，
∴

1

CE

=

x

1-x

，
∴CE=

1-x

x

，
∴BE=BC+EC=

1

x

，
∵OM∥BE，
∴△GMO∽△GBE，
∴

GM

GB

=

OM

BE

，
即

y- 1 2

y

=

1 2

1 x

，整理得：（2-x）y=1，
∴y=

1

2-x

，
∴y关于x之间的函数关系式为y=

1

2-x

；

（3）存在；
理由：∵PG∥BC，
∴

AG

GB

=

AP

PE

=

AD

BE

，
∵AG=1-y，GB=y，AD=1，BE=

1

x

，
∴

1-y

y

=

1

1 x

，整理得：y=

1

x+1

，
解

y= 1 2-x y= 1 x+1

得x=

1

2

，
所以当x=

1

2

时，使得PG∥BC．

点评：本题考查了三角形相似的判定和性质、平行线分相等定理的应用、正方形的性质等，找出对应线段之间的关系是本题的关键．