Question

已知抛物线y=x²-2x+m与x轴有两个不同交点A（x₁，0）、B（x₂，0）并且x₁＜x₂，x₁²+x₂²=4，
①求这条抛物线的解析式；
②设抛物线的顶点为C，P是抛物线上一点，且∠PAC=90°，求P点坐标及△PAC内切圆的面积．

Answer 1

分析：（1）由根与系数的关系得出x₁+x₂=2，x₁•x₂=m，把已知转化成含有以上两式的形式代入即可求出m，即可求出答案；
（2）求出A、B、C的坐标，设P的坐标是（x，x²-2x），根据勾股定理求出x，即得到P的坐标，根据勾股定理求出PA、AC、PC的值，设△PAC的内切圆的半径是r，根据三角形的面积公式得出S_△PAC=

1

2

PA×AC=

1

2

PA•r+

1

2

PC•r+

1

2

AC•r，代入求出r，即可求出答案．

解答：解：（1）当y=0时，x²-2x+m=0，
由根与系数的关系得：x₁+x₂=2，x₁•x₂=m，
∵x₁²+x₂²=4，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4，
∴4-2m=4，
∴m=0，
即抛物线的解析式是y=x²-2x，
答：这条抛物线的解析式是y=x²-2x．
（2）解：y=x²-2x=x（x-2）=（x-1）²-1，
∴A（0，0），B（2，0），C（1，-1），
设P的坐标是（x，x²-2x），
由勾股定理得：PA²+AC²=PC²，
∴x²+（x²+2x）²+1²+1²=（x-1）²+（x²-2x+1）²，
解得：x₁=0（因为此时与A重合，舍去），x₂=3，
x²-2x=3，
∴P的坐标是（3，3），
由勾股定理求出AC=

2

，PA=3

2

，PC=2

5

，
设△PAC的内切圆的半径是r，
根据三角形的面积公式得：S_△PAC=

1

2

PA×AC=

1

2

PA•r+

1

2

PC•r+

1

2

AC•r，
∴

1

2

×3

2

×

2

=

1

2

×3

2

×r+

1

2

×2

5

×r+

1

2

×

2

×r，
解得：r=2

2

-

5

，
∴圆的面积是πr²=π(2

2

-

5

)2=13π-4

10

π，
答：P点坐标是（3，3），△PAC内切圆的面积是13π-4

10

π．

点评：本题主要考查对解一元一次方程，根与系数的关系，三角形的面积，三角形的内切圆与内心，勾股定理，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．