Question

5．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．，则下列结论正确的是①④（将正确的结论填在横线上）．
①s_△OEB=s_△ODB，②BD=4AD，③连接MD，S_△ODM=2S_△OCE，④连接ED，则△BED∽△BCA．

Answer 1

分析 ①正确．由四边形ABCD是矩形，推出S_△OBC=S_△OBA，由点E、点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，推出S_△CEO=S_△OAD=$\frac{k}{2}$，即可推出S_△OEB=S_△OBD．
②错误．设点B（m，n），D（m，n′）则M（$\frac{1}{2}$m，$\frac{1}{2}$n，），由点M，点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，可得$\frac{1}{2}$m•$\frac{1}{2}$n=m•n′，推出n′=$\frac{1}{4}$n，推出AD=$\frac{1}{4}$AB，推出BD=3AD，故②错误．
③错误．因为S_△ODM=S_△OBD-S_△BDM=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$b•a-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$b•$\frac{1}{2}$a=$\frac{3}{16}$ab，S_△CEO=S_△OAD=$\frac{1}{2}$•a•$\frac{1}{4}$b=$\frac{1}{8}$ab，所以S_△ODM：S_△OCE=$\frac{3}{16}$ab：$\frac{1}{8}$ab=3：2，故③错误．
④正确．由$\frac{BE}{EC}$=$\frac{BD}{AD}$=3，推出DE∥AC，推出△BED∽△BCA．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴S_△OBC=S_△OBA，
∵点E、点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴S_△CEO=S_△OAD=$\frac{k}{2}$，
∴S_△OEB=S_△OBD，故①正确，
设点B（m，n），D（m，n′）则M（$\frac{1}{2}$m，$\frac{1}{2}$n，），
∵点M，点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴$\frac{1}{2}$m•$\frac{1}{2}$n=m•n′，
∴n′=$\frac{1}{4}$n，
∴AD=$\frac{1}{4}$AB，
∴BD=3AD，故②错误，
连接DM，∵S_△ODM=S_△OBD-S_△BDM=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$b•a-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$b•$\frac{1}{2}$a=$\frac{3}{16}$ab，
∵S_△CEO=S_△OAD=$\frac{1}{2}$•a•$\frac{1}{4}$b=$\frac{1}{8}$ab，
∴S_△ODM：S_△OCE=$\frac{3}{16}$ab：$\frac{1}{8}$ab=3：2，故③错误，
连接DE，同法可证CE=$\frac{1}{4}$BC，
∴BE=3EC，
∴$\frac{BE}{EC}$=$\frac{BD}{AD}$=3，
∴DE∥AC，
∴△BED∽△BCA，故④正确．
故答案为①④

点评 本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、三角形的面积、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，学会用分割法求三角形面积，属于中考压轴题．