Question

20．已知△ABC中，AB=8，AC=6，BC的长是一元二次方程x²-16x+60=0的一个实数根，则△ABC的面积为24或8$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由x²-16x+60=0，可利用因式分解法求得x的值，然后分别从x=6时，是等腰三角形；与x=10时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．

解答 解：∵x²-16x+60=0，
∴（x-6）（x-10）=0，
解得：x₁=6，x₂=10，
当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图①：AC=BC=6，AB=8，CD是高，
∴AD=4，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$×8×2$\sqrt{5}$=8$\sqrt{5}$；
当x=10时，如图②，AC=6，BC=10，AB=8，
∵AC²+AB²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，∠A=90°，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×8×6=24．
∴该三角形的面积是：24或8$\sqrt{5}$．
故答案为：24或8$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想，小心别漏解．