Question

8．如图，反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点E为y轴上一个动点，若S_△AEB=10，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入已求出的反比例函数解析式，得出n的值，得出点B的坐标，再把A、B的坐标代入直线y=kx+b，求出k、b的值，从而得出一次函数的解析式；
（2）设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，先求出点P的坐标（0，7），得出PE=|m-7|，根据S△_AEB=S_△BEP-S_△AEP=10，求出m的值，从而得出点E的坐标．

解答 解：（1）把点A（2，6）代入y=$\frac{m}{x}$，得m=12，
则y=$\frac{12}{x}$．
把点B（n，1）代入y=$\frac{12}{x}$，得n=12，
则点B的坐标为（12，1）．
由直线y=kx+b过点A（2，6），点B（12，1）得
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=6}\\{12k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=7}\end{array}\right.$，
则所求一次函数的表达式为y=-$\frac{1}{2}$x+7．

（2）如图，直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，
则点P的坐标为（0，7）．
∴PE=|m-7|．
∵S_△AEB=S_△BEP-S_△AEP=10，
∴$\frac{1}{2}$×|m-7|×（12-2）=10．
∴|m-7|=2．
∴m₁=5，m₂=9．
∴点E的坐标为（0，5）或（0，9）．

点评 此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，解一元一次方程，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．