Question

【题目】如图，在等腰直角△ABC中， 点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且.

（1）判断与的大小关系，并说明理由；

（2）若BE=12，CF=5，求△的面积．

Answer 1

【答案】（1）DF=DE；（2）△DEF的面积是

【解析】试题分析：（1）连接AD，首先利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，AD=CD=BD，从而得到∠CDF=∠ADE，然后利用ASA证得DCF≌△ADE后即可证得DF=DE；

（2）由（1）知：AE=CF，AF=BC，DE=DF，即△EDF为等腰直角三角形，在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的值求出，进而可求出DE、DF的值，代入S△EDF=DE2进行求解．

试题解析：（1）DF=DE，理由如下：

如图，连接AD，

∵AB=AC，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，AD=CD=BD，

∵DE⊥DF，

∴∠CDF+∠ADF=∠EDA+∠ADF，

即∠CDF=∠ADE，

在△DCF和△DAE中，

，

∴△DCF≌△DAE(ASA)，

∴DF=DE；

（2）由（1）知：AE=CF=5，同理AF=BE=12.

∵∠EAF=90°，

∴EF2=AE2+AF2=52+122=169.

∴EF=13，

又∵由(1)知：△AED≌△CFD，

∴DE=DF，

∴△DEF为等腰直角三角形，DE2+DF2=EF2=169，

∴DE=DF=，

∴S△DEF=×()2=.