Question

16．如图，在△ABC中，∠ABC=120°，BD是AC边上的高，若AB+AD=DC，则∠C等于20°．

Answer 1

分析 延长DA到E，使AE=AB，从而求出DE=DE，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BC=BE，再根据等边对等角可得∠C=∠E，∠E=∠ABE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BAD，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．

解答 解：如图，延长DA到E，使AE=AB，
∵AB+AD=DC，
∴AE+AD=AB+AD=DC，
又∵BD是AC边上的高，
∴BD是CE的垂直平分线，
∴BC=BE，
根据等边对等角，∠C=∠E，∠E=∠ABE，
根据三角形的外角性质，∠BAD=∠E+∠ABE=2∠C，
在△ABC中，∠BAD+∠C+∠ABC=180°，
∴2∠C+∠C+120°=180°，
解得∠C=20°．
故答案为：20°．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，利用“补长”法作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．