Question

4．如图，已知在△ABC中，D为AC中点，连接BD．
（1）若AB=10cm，BC=6cm，求中线BD的取值范围； 
（2）若AB=8cm，BD=6cm，求BC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，构建全等三角形，证明△ABD≌△CED，得CE=AB=10cm，在△BCE中，根据三边关系得：4cm＜BE＜16cm，则2cm＜BD＜8cm；
（2）同理根据三角形三边关系得：12-8＜BC＜12+8，即4cm＜BC＜20cm．

解答 解：（1）如图，延长BD至E，使BD=DE，连接CE，
∵D为AC中点，
∴AD=DC，
在△ABD和△CED中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BD=DE}\\{∠ADB=∠CDE}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴EC=AB=10，
在△BCE中，CE-BC＜BE＜CE+BC，
10-6＜BE＜10+6，
∴4＜BE＜16，
∴4＜2BD＜16，
∴2＜BD＜8；
则中线BD的取值范围：2cm＜BD＜8cm；
（2）∵AB=8，BD=6，
∴CE=AB=8，BE=2BD=12，
∴BE-EC＜BC＜BE+BC，
∴12-8＜BC＜12+8，
即4＜BC＜20；
则BC的取值范围：4cm＜BC＜20cm．

点评 本题是求三角形某边的取值范围，考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，利用三角形全等将已知的两边和所求取值的边平移到同一三角形中，根据三边关系解决问题．