Question

【题目】如图，抛物线与轴交于点A和点B（3，0），与轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在轴下方上的动点，过点M作MN//轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，当MN取最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（2，）、（2，）、（2，）、（2，）或（2，）．

【解析】

试题分析：（1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；

（3）假设存在，设出点P的坐标为（2，n），结合（2）的结论可求出点N的坐标，结合点N、B的坐标利用两点间的距离公式求出线段PN、PB、BN的长度，根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n值，从而得出点P的坐标．

试题解析：（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为；

（2）设点M的坐标为（m，），设直线BC的解析式为y=kx+3，把点点B（3，0）代入y=kx+3中，得：0=3k+3，解得：k=﹣1，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵MN∥y轴，∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．∵抛物线的解析式为=，∴抛物线的对称轴为x=2，∴点（1，0）在抛物线的图象上，∴1＜m＜3．∵线段MN=﹣m+3﹣（）==，∴当m=时，线段MN取最大值，最大值为；

（3）假设存在．设点P的坐标为（2，n）．

当m=时，点N的坐标为（，），∴PB==，PN=，BN==．

△PBN为等腰三角形分三种情况：

①当PB=PN时，即=，解得：n=，此时点P的坐标为（2，）；

②当PB=BN时，即=，解得：n=±，此时点P的坐标为（2，）或（2，）；

③当PN=BN时，即=，解得：n=，此时点P的坐标为（2，）或（2，）．

综上可知：在抛物线的对称轴l上存在点P，使△PBN是等腰三角形，点的坐标为（2，）、（2，）、（2，）、（2，）或（2，）．