Question

【题目】如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结A0，如果AB=3，AO=2，那么AC的长等于______．

Answer 1

【答案】2+3．

【解析】在AC上截取CG=AB=3，连接OG，根据B、A、O、C四点共圆，推出∠ABO=∠ACO，证△BAO≌△CGO，推出OA=OG=2，∠AOB=∠COG，得出等腰直角三角形AOG，根据勾股定理求出AG，即可求出AC．

解：在AC上截取CG=AB=3，连接OG，

∵四边形BCEF是正方形，∠BAC=90°，
∴OB=OC，∠BAC=∠BOC=90°，
∴B、A、O、C四点共圆，
∴∠ABO=∠ACO，
在△BAO和△CGO中
BA=CG BA=CG，∠BAO=∠GCO，OB=OC，

∴△BAO≌△CGO（SAS），
∴OA=OG=2，∠AOB=∠COG，
∵∠BOC=∠COG+∠BOG=90°，
∴∠AOG=∠AOB+∠BOG=90°，
即△AOG是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AG=，
即AC=2+3．
故答案是：2+3．

“点睛”本题主要考查对勾股定理，正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．