Question

5．如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．
（1）求证：OP=OQ；
（2）若AD=4厘米，AB=3厘米，当AP为何值时，四边形PBQD是菱形，并加以说明．

Answer 1

分析 （1）根据矩形性质推出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠PDO=∠QBO，根据全等三角形的判定ASA证△PDO≌△BQO，根据全等三角形的性质推出即可．
（2）由菱形的性质得出BP=PD，设AP=x厘米，则BP=PD=（4-x）厘米，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠PDO=∠QBO，
∵O为BD中点，
∴OB=OD，
在△PDO和△QBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDO=∠QBO}&{\;}\\{OB=OD}&{\;}\\{∠POD=∠BOQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PDO≌△BQO（ASA），
∴OP=OQ．
（2）解：当AP=$\frac{7}{8}$时，四边形PBQD是菱形；理由如下：
∵OB=OD，OP=OQ，
∴四边形PBQD是平行四边形，
当四边形PBQD是菱形时，BP=PD，
设AP=x厘米，则BP=PD=（4-x）厘米，
由勾股定理得：X²+3²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{7}{8}$，
即当AP为$\frac{7}{8}$厘米时，四边形PBQD是菱形．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定与性质；题目比较好，综合性比较强．