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【题目】如图,P是正方形ABCD对角线BD上一点,PEDCPFBCEF分别为垂足.

1)求证:APDCPD

2)若CF=3CE=4,求AP的长.

【答案】1)证明见解析;(25

【解析】试题分析

(1)根据正方形的性质,用SAS证明△APD≌△CPD;

(2)证明四边形PEDF是矩形,用勾股定理求EF,结合矩形的性质和(1)的结论求AP的长.

试题解析

证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,

∴AD=CD,∠ADP=∠CDP=45°,∠BCD=90°,

△APD△CPD中,

∴△APD≌△CPD(SAS);

(2)解:∵△APD≌△CPD,∴AP=PC,

四边形ABCD是正方形,∴∠BCD=90°,

∵PE⊥DC,PF⊥BC,∴∠PEC=∠PFC=90°,

四边形PECF是矩形,∴PC=EF,∴AP=EF.

∵∠DCB=90°,∴Rt△CEF中,EF===5,

∴AP=EF=5.

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   (内错角相等,两直线平行)②

∴∠ADE=∠3(   )③

∵∠3=∠B(   )④

   (等量代换)⑤

∴DE∥BC(   )⑥

∴∠AED=∠C(   )⑦

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