Question

9．已知关于x的一元二次方程x²-3x+k-1=0有实数根，k为正整数．
（1）求正整数k的值；
（2）若此方程有两个不为0的整数根，请求出此时k的值及这两个整数根；
（3）在（2）的条件下，将关于x的二次函数y=x²-3x+k-1的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程x²-3x+k-1=0有实数根，可推△≥0，根据k为正整数，可确定k的数值；
（2）分别把k的正整数值代入方程x²-3x+k-1=0，解得结果进行分析解答；
（3）求出符合要求的k值，结合抛物线平移的规律写出其平移后的解析式．

解答 解：（1）∵方程x²-3x+k-1=0有实数根，
∴△=9-4（k-1）≥0，
∴k≤$\frac{13}{4}$．
又∵k为正整数，
∴k=1或2或3．
（2）当此方程有两个非零的整数根时，
当k=1时，方程为x²-3x=0，解得x₁=0，x₂=3；不合题意，舍去．
当k=2时，方程为x²-3x+1=0，解得x₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；不合题意，舍去．
当k=3时，方程为x²-3x+2=0，解得x₁=1，x₂=-2；符合题意．
（3）二次函数y=x²-3x+2的图象向下平移2个单位得到y=x²-3x．

点评 此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，二次函数平移的性质，求得方程的整数根是解决问题的关键．