Question

17．有一长方体纸盒，如图所示，小明所在的数学兴趣小组研究由长方体的底面A点到长方体中与A点相对的B点最短距离．若长方体的底面边长为12，宽为9，高为5，请你帮助该小组计算出由A到B的最短路线．（21.59²≈466，18.44²≈340，结果保留两位小数）

Answer 1

分析 分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段AB的长度，再进行比较即可．

解答 解：①如图1，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，
∵∠AEB=90°，AE=12+9=21，BE=5，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{{AE}^{2}+{BE}^{2}}$=$\sqrt{{21}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{466}$；
②如图2，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，
∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9+5=14，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{{AC}^{2}+{CB}^{2}}$=$\sqrt{{12}^{2}+{14}^{2}}$=$\sqrt{340}$；
③如图3，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，
∠ADB=90°，AD=5+12=17，BD=9，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{{AD}^{2}+{BD}^{2}}$
=$\sqrt{{17}^{2}+{9}^{2}}$=$\sqrt{370}$．
∵$\sqrt{340}$＜$\sqrt{370}$＜$\sqrt{466}$，
∴由A到B的最短路线为如2所示的路线最短．

点评 本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线．