Question

2．如图，有一个圆锥，它的底面半径是2cm，母线长是8cm，在点B处有一只蚂蚁，它想吃到与B点相对且离圆锥顶点3$\sqrt{2}$cm 的点P处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是2$\sqrt{5}$cm．

Answer 1

分析 将圆锥侧面展开，进而根据平面上两点之间的距离，线段最短，求出最短路程．

解答 解：如图所示，
∵它的底面半径是2cm，母线长是8cm，
∴l=$\frac{nπ×{8}^{\;}}{180}$=4π，解得n=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵AE⊥BC，
∴∠BAE=∠ABE=45°，
∴BE=AE，
设BE=AE=x，则2BE²=AB²，即2x²=8²，解得x=4$\sqrt{2}$cm，
∵AP=3$\sqrt{2}$cm，
∴PE=$\sqrt{2}$cm，
∴BP=$\sqrt{{BE}^{2}+{PE}^{2}}$=$\sqrt{{（3\sqrt{2}）}^{2}+{（\sqrt{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{5}$（cm）．
故答案为：2$\sqrt{5}$cm．

点评 本考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．