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【题目】已知如图1,在以O为原点的平面直角坐标系中,抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,﹣1),连接AC,AO=2CO,直线l过点G(0,t)且平行于x轴,t<﹣1,

(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;
(2)若D为抛物线y= x2+bx+c上一动点,是否存在直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等?若存在,求出此时t的值;
(3)如图2,若E、F为上述抛物线上的两个动点,且EF=8,线段EF的中点为M,求点M纵坐标的最小值.

【答案】
(1)

解:∵c(0,﹣1),

∴y= x2+bx﹣1,

又∵AO=2OC,

∴点A坐标为(﹣2,0),

代入得:1﹣2b﹣1=0,

解得:b=0,

∴解析式为:y= x2﹣1


(2)

解:假设存在直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等,

设D(a, a2﹣1),

则OD= = = a2+1,

点D到直线l的距离: a2﹣1+|t|,

a2﹣1+|t|= a2+1,

解得:|t|=2,

∵t<﹣1,

∴t=﹣2,

故当t=﹣2时,直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等


(3)

解:作EN⊥直线l于点N,FH⊥直线l于点H,

设E(x1,y1),F(x2,y2),

则EN=y1+2,FH=y2+2,

∵M为EF中点,

∴M纵坐标为: = = ﹣2,

由(2)得:EN=OE,FH=OF,

= ﹣2= ﹣2,

要使M纵坐标最小,即 ﹣2最小,

当EF过点O时,OE+OF最小,最小值为8,

∴M纵坐标最小值为 ﹣2= ﹣2=2.


【解析】(1)根据点C坐标,可得c=﹣1,然后根据AO=2CO,可得出点A坐标,将点A坐标代入求出b值,即可得出函数解析式;(2)假设存在直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等,设出点D坐标,分别求出OD和点D到直线l的距离,然后列出等式求出t的值;(3)作EN⊥直线l于点G,FH⊥直线l于点H,设出点E、F坐标,表示出点M的纵坐标,根据(2)中得出的结果,代入结果求出M纵坐标的最小值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识,掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点,以及对二次函数的性质的理解,了解增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.

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