【题目】已知如图1,在以O为原点的平面直角坐标系中,抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,﹣1),连接AC,AO=2CO,直线l过点G(0,t)且平行于x轴,t<﹣1,
(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;
(2)若D为抛物线y= x2+bx+c上一动点,是否存在直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等?若存在,求出此时t的值;
(3)如图2,若E、F为上述抛物线上的两个动点,且EF=8,线段EF的中点为M,求点M纵坐标的最小值.
【答案】
(1)
解:∵c(0,﹣1),
∴y= x2+bx﹣1,
又∵AO=2OC,
∴点A坐标为(﹣2,0),
代入得:1﹣2b﹣1=0,
解得:b=0,
∴解析式为:y= x2﹣1
(2)
解:假设存在直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等,
设D(a, a2﹣1),
则OD= = = a2+1,
点D到直线l的距离: a2﹣1+|t|,
∴ a2﹣1+|t|= a2+1,
解得:|t|=2,
∵t<﹣1,
∴t=﹣2,
故当t=﹣2时,直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等
(3)
解:作EN⊥直线l于点N,FH⊥直线l于点H,
设E(x1,y1),F(x2,y2),
则EN=y1+2,FH=y2+2,
∵M为EF中点,
∴M纵坐标为: = = ﹣2,
由(2)得:EN=OE,FH=OF,
∴ = ﹣2= ﹣2,
要使M纵坐标最小,即 ﹣2最小,
当EF过点O时,OE+OF最小,最小值为8,
∴M纵坐标最小值为 ﹣2= ﹣2=2.
【解析】(1)根据点C坐标,可得c=﹣1,然后根据AO=2CO,可得出点A坐标,将点A坐标代入求出b值,即可得出函数解析式;(2)假设存在直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等,设出点D坐标,分别求出OD和点D到直线l的距离,然后列出等式求出t的值;(3)作EN⊥直线l于点G,FH⊥直线l于点H,设出点E、F坐标,表示出点M的纵坐标,根据(2)中得出的结果,代入结果求出M纵坐标的最小值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识,掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点,以及对二次函数的性质的理解,了解增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙两名大学生去距学校36千米的某乡镇进行社会调查.他们从学校出发,骑电动车行驶20分钟时发现忘带相机,甲下车前往,乙骑电动车按原路返回.乙取相机后(在学校取相机所用时间忽略不计),骑电动车追甲.在距乡镇13.5千米处追上甲后同车前往乡镇.乙电动车的速度始终不变.设甲与学校相距y甲(千米),乙与学校相离y乙(千米),甲离开学校的时间为t(分钟).y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示,结合图象解答下列问题:
(1)电动车的速度为 千米/分钟;
(2)甲步行所用的时间为 分;
(3)求乙返回到学校时,甲与学校相距多远?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,将△ABC绕点C顺时针旋转60°至△A′B′C,点A的对应点A′恰好落在AB上,求BB′的长.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC=cm,∠BAC=120°,点P在BC上从C向B运动,点Q在AB、AC上沿B→A→C运动,点P、Q分别从点C、B同时出发,速度均为1cm/s,当其中一点到达终点时两点同时停止运动,则当运动时间t=_____s时,△PAQ为直角三角形.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】进入冬季,我市空气质量下降,多次出现雾霾天气.商场根据市民健康需要,代理销售一种防尘口罩,进货价为20元/包,经市场销售发现:销售单价为30元/包时,每周可售出200包,每涨价1元,就少售出5包.若供货厂家规定市场价不得低于30元/包,且商场每周完成不少于150包的销售任务.
(1)试确定周销售量y(包)与售价x(元/包)之间的函数关系式;
(2)试确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)与售价x(元/包)之间的函数关系式,并直接写出售价x的范围;
(3)当售价x(元/包)定为多少元时,商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,OA=AB=6,将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1 .
(1)线段OA1的长是 , ∠AOB1的度数是;
(2)连接AA1 , 求证:四边形OAA1B1是平行四边形;
(3)求点B旋转到点B1的位置所经过的路线的长.
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