Question

17．如图，点A（0，4），点B（3，0），点P为线段AB上一个动点，作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，连接MN，则MN的最小值为$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 首先连接OP，易得四边形ONPM是矩形，即可得在Rt△AOB中，当OP⊥AB时OP最短，即MN最小，然后利用勾股定理与三角形的面积的求解，可求得MN的长．

解答 解：如图，连接OP．
由已知可得：∠PMO=∠MON=∠ONP=90°．
∴四边形ONPM是矩形．
∴OP=MN，
在Rt△AOB中，当OP⊥AB时OP最短，即MN最小．
∵A（0，4），B（3，0），即AO=4，BO=3，
根据勾股定理可得AB=5．
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$AO•BO=$\frac{1}{2}$AB•OP，
∴OP=$\frac{12}{5}$．
∴MN=$\frac{12}{5}$．
即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为$\frac{12}{5}$；
故答案为$\frac{12}{5}$．

点评 此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理与三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．