Question

10．小明在学习矩形这一节时知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，由此引发他的思考，这个定理的逆命题成立吗？即：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是否为直角三角形？
通过探究，小明发现这个猜想也成立，以下是小明的证明过程：
已知：如图1，在△ABC中，点D是AB的中点，连接CD，且CD=$\frac{1}{2}$AB
求证：△ABC为直角三角形
证明：由条件可知，AD=BD=CD
则∠A=∠DCA，∠B=∠DCB
又∵∠A+∠DCA+∠B+∠DCB=180°
∴∠DCA+∠DCB=90°
爱动脑筋的小明发现用本学期所学知识也能证明这个结论，并想出了图2、图3两种不同的证明思路，请你选择其中一种，把证明过程补充完整：

证法一：如图2，延长CD至E，使DE=CD，连接AE、BE； 又∵AD=DB

证法二：如图3，分别作AC、BC的中点E，F，连接DE、DF、EF； 则DE、DF、EF为△ABC的中位线

Answer 1

分析 延长CD至E，使DE=CD，连接AE、BE，根据平行四边形的判定定理证明四边形ACBE是平行四边形，根据矩形的判定定理证明四边形ACBE是矩形，根据矩形的对角线相等证明结论．

解答 证明：如图2，延长CD至E，使DE=CD，连接AE、BE；
又∵AD=DB，
∴四边形ACBE是平行四边形，
又∵CD=$\frac{1}{2}$AB，CD=$\frac{1}{2}$CE，
∴四边形ACBE是矩形，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC为直角三角形．

点评 本题考查的是矩形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用矩形的判定定理和性质定理是解题的关键．