Question

18．在如图所示的方格中，点A，B，C，D都在格点上，且AB=BC=2CD=4，P是线段BC上的动点，连结AP，DP．
（1）设BP=x，用含字母x的代数式分别表示线段AP，DP的长，并求当x=2的时候，AP+DP的值；
（2）AP+DP是否存在最小值？若存在，求出其最小值．

Answer 1

分析 （1）分别用x表示出BP、CD的长度，再根据勾股定理求出AP、DP的长即可；
（2）作点A关于BC的对称点A′，连接A′D，再由对称的性质及勾股定理即可求解．

解答 解：（1）由题意结合图形知：
AB=4，BP=x，CP=4-x，CD=2，
∴AP=$\sqrt{A{P}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+16}$，
DP=$\sqrt{P{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}{+（4-x）}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-8x+20}$；
当x=2时，AP+DP=$\sqrt{20}$+$\sqrt{8}$=2$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$；

（2）存在．
如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′D，
∴A′E=4，DE=6，
则A′D=$\sqrt{A′{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{52}$=$2\sqrt{13}$，
∴最小值为2$\sqrt{13}$．

点评 本题主要考查的是最短线路问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此类题目的关键．