Question

3．已知二次函数y=ax²的图象与一次函数y=mx+4的图象相交于点A（-2，2）和B（n，8）两点．
（1）求二次函数y=ax²与一次函数y=mx+4的表达式；
（2）试判断△AOB的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-2，2）代入y=ax²，求出a的值，把A（-2，2）代入y=mx+4，求出m的值即可；
（2）先求出B点坐标，再分别求出OA、OB、AB，利用勾股定理的逆定理判断即可．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²的图象经过点A（-2，2），
∴2=4a，a=$\frac{1}{2}$，
∴二次函数的表达式为y=$\frac{1}{2}$x²；
∵一次函数y=mx+4的图象经过点A（-2，2），
∴2=-2m+4，m=1，
∴一次函数的表达式是y=x+4；

（2）△AOB是直角三角形．理由如下：
∵点B（n，8）在一次函数y=x+4的图象上，
∴8=n+4，n=4，
∴B（4，8），
∵A（-2，2），
∴OA²=2²+2²=8，OB²=4²+8²=80，AB²=（4+2）²+（8-2）²=72，
∴OA²+AB²=OB²，
∴△AOB为直角三角形，且∠OAB=90°．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，求出二次函数解析式是解题的关键．