Question

关于x的方程|x²-x|-a=0，给出下列四个结论：
①存在实数a，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数a，使得方程恰有3个不同的实根；
③存在实数a，使得方程恰有4个不同的实根；④存在实数a，使得方程恰有6个不同的实根；
其中正确的结论个数是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：首先由：|x²-x|-a=0，可得a≥0，然后分析若x²-x＞0时，由判别式可知此时方程有两个不相等的实数根，又由x²-x＜0时，分析当△=-4a+1＞0时，有两个不相等的实数根，当△=-4a+1=0时，有两个相等的实数根，当△=-4a+1＜0时，没有的实数根，即可求得答案．
解答：∵|x²-x|-a=0，
∴|x²-x|=a，
∴a≥0，
若x²-x＞0，
则x²-x-a=0，
∴△=（-1）²+4a=4a+1＞0，
此时方程有两个不相等的实数根．
若x²-x＜0，
则-x²+x-a=0，即则x²-x+a=0，
∴△=（-1）²-4a=-4a+1，
当-4a+1＞0时，0≤a＜，
此时方程有两个不相等的实数根，
当-4a+1=0时，a=，
此时方程有两个相等的实数根，
当-4a+1＜0时，a＞，
此时方程没有的实数根；
∴当0≤a＜时，使得方程恰有4个不同的实根，故③正确；
当a=时，使得方程恰有3个不同的实根，故②正确；
当a＞时，使得方程恰有2个不同的实根，故①正确．
∴正确的结论是①②③．
故选C．
点评：此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．解题的关键是分类讨论思想的应用，小心别漏解．