Question

如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）求证：BE=CF．
（2）若∠AOB=60°，AB=8，求矩形的面积．

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：

分析：（1）根据矩形的性质求出OB=OC，根据AAS推出△BEO≌△CFO即可；
（2）求出等边三角形AOB，求出AC，根据勾股定理求出BC，根据矩形的面积公式求出即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=

1

2

AC，OB=OD=

1

2

BD，
∴OB=OC，
∵BE⊥AC，CF⊥BD，
∴∠BEO=∠CFO=90°，
在△BEO和△CFO中，

∠BOE=∠COF ∠BEO=∠CFO OB=OC

，
∴△BEO≌△CFO（AAS），
∴BE=CF；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=

1

2

AC，OB=OD=

1

2

BD，
∴OB=OA，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=OB=8，
∴AC=16，
由勾股定理得：BC=

162-82

=8

3

，
∴矩形的面积是AB×BC=8×8

3

=64

3

．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，注意：矩形的对角线互相平分且相等．