Question

17．如图，AB是⊙O的直径，△BCD内接于⊙O，若AD=DC=5cm，∠CDB=30°，则四边形ABCD的周长为（　　）

• A． 25cm
• B． 35cm
• C． 30cm
• D． 40cm

Answer 1

分析 连接OD，OC，由AD=DC，根据在同圆中等弦对等弧，可得：$\widehat{AD}=\widehat{DC}$，根据等弧所对的圆心角相等，可得：∠AOD=∠DOC，然后根据圆周角定理可得：∠BOC=2∠BDC=60°，然后由∠AOD+∠DOC+∠BOC=180°，可得∠AOD=∠DOC=60°，进而可判断△AOD、△DOC、△BOC是等边三角形，从而可得：AD=DC=CB=OB=OA=5cm，进而可求四边形ABCD的周长．

解答 解：连接OD，OC，如图所示，

∵AD=DC，
∴$\widehat{AD}=\widehat{DC}$，
∴∠AOD=∠DOC，
∵∠BOC=2∠BDC，∠BDC=30°，
∴∠BOC=60°，
∵∠AOD+∠DOC+∠BOC=180°，
∴∠AOD=∠DOC=$\frac{180°-∠BOC}{2}$=60°，
∵OA=OD=OC=OB，
∴△AOD、△DOC、△BOC都是等边三角形，
∴AD=DC=CB=OB=OA=5cm，
∴四边形ABCD的周长=AD+DC+CB+OB+OA=5×5=25cm．
故选A．

点评 此题考查了圆周角定理，及弧、弦，圆心角之间的关系定理，解题的关键是：添加辅助线，判断△AOD、△DOC、△BOC是等边三角形．