【题目】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D
（1）求证：△BFD∽△ABD；
（2）求证：DE=DB．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）先根据内心的性质得出∠BAD=∠CAD，再由圆周角定理得出∠CAD=∠CBD，故可得出∠BAD=∠CBD，进而可得出结论；
（2）连接BE，根据点E是△ABC的内心得出∠ABE=∠CBE．由∠CBD=∠BAD可得出∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠CBD，进而可得出结论．
试题解析：（1）证明：∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD．
∵∠CAD=∠CBD，∴∠BAD=∠CBD．
∵∠BDF=∠ADB，∴△BFD∽△ABD；
（2）证明：连接BE，∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE=∠CBE．
又∵∠CBD=∠BAD，∴∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠CBD．
∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE，即∠DBE=∠BED，∴DE=DB．
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【题目】如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′OP=
，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
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【题目】请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并成为三大数学王子．
阿拉伯Al﹣Binmi（973﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是
的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，∴MA=MC．
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为
上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是 ．
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【题目】如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数
和反比例函数
的图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出方程
的解；
（3）求△AOB的面积；
（4）观察图象，直接写出不等式
的解集．
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【题目】如图，直线y=ax+b与反比例函数
（x＞0）的图象交于A（1，4），B（4，n）两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）m= ，n= ；若M（
，
），N（
，
）是反比例函数图象上两点，且0＜＜，则 （填“＜”或“=”或“＞”）；
（2）若线段CD上的点P到x轴、y轴的距离相等，求点P的坐标．
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【题目】如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数
（k为常数，k≠0）的图象交于点A（﹣1，4）和点B（a，1）．
（1）求反比例函数的表达式和a、b的值；
（2）若A、O两点关于直线l对称，请连接AO，并求出直线l与线段AO的交点坐标．
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【题目】如图，一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于点A，G，H，D且∠1=∠2，∠B=∠C 
（1）找出图中相互平行的线，说说它们之间为什么是平行的；
（2）证明：∠A=∠D．
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