Question

7．如图，已知抛物线y=x²+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（-2，-3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式．
（2）设点M（-3，m），求使MN+MD的值最小时m的值．
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的点E的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A、C的坐标代入抛物线解析式可得出b、c的值，继而得出抛物线解析式，利用待定系数法可求出AC的函数解析式；
（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到N点关于直线x=-3的对称点N′，连接N'D，N'D与直线x=-3的交点即是点M的位置，继而求出m的值．
（3）设出点E的坐标，分情况讨论，①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质表示出F的坐标，将点F的坐标代入抛物线解析式可得出x的值，继而求出点E的坐标．

解答 解：（1）由抛物线y=x²+bx+c过点A（1，0）及C（-2，-3），可得：$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{4-2b+c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
故抛物线为y=x²+2x-3，
设直线AC解析式为y=kx+n，将点A（1，0），C（-2，-3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+n=0}\\{-2k+n=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{n=-1}\end{array}\right.$，
故直线AC为y=x-1．

（2）由（1）中抛物线解析式y=x²+2x-3得到N（0，-3）．
作N点关于直线x=-3的对称点N′，则N′（-6，-3），由（1）得D（-1，-4），
可求出直线DN′的函数关系式为y=-$\frac{1}{5}$x-$\frac{21}{5}$，
当M（-3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
则m=-$\frac{1}{5}$×（-3）-$\frac{21}{5}$=$\frac{18}{5}$．

（3）由（1）、（2）得D（-1，-4），B（-1，-2）
点E在直线AC上，设E（x，x-1），
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+1），
∵F在抛物线上，
∴x+1=x²+2x-3
解得，x=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$或x=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$（舍去），
则点E的坐标为：（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）．
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-3），
∵点F在抛物线上，
∴x-3=x²+2x-3，
解得x=-3（舍去）或x=2，
即点E的坐标为：（2，1）
综上可得满足条件的点E为（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）或（2，1）．

点评 本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、轴对称求最短路径及平行四边形的性质，同学们注意培养自己解答综合题的能力，将所学知识融会贯通．