Question

1．夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务．为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增加20元．
（1）设第x天生产空调y台，直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台2920元，设第x天的利润为W元，试求W与x之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少．

Answer 1

分析 （1）根据接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，直接得出生产这批空调的时间为x天，与每天生产的空调为y台之间的函数关系式；
（2）根据基本等量关系：利润=（每台空调订购价-每台空调成本价-增加的其他费用）×生产量即可得出答案．

解答 解：（1）∵接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，
∴由题意可得出，第x天生产空调y台，y与x之间的函数解析式为：y=40+2x（1≤x≤10）；

（2）当1≤x≤5时，W=（2920-2000）×（40+2x）=1840x+36800，
∵1840＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x=5时，W_最大值=1840×5+36800=46000；
当5＜x≤10时，
W=[2920-2000-20（40+2x-50）]×（40+2x）=-80（x-4）²+46080，
此时函数图象开口向下，在对称轴右侧，W随着x的增大而减小，又天数x为整数，
∴当x=6时，W_最大值=45760元．
∵46000＞45760，
∴当x=5时，W最大，且W_最大值=46000元．
综上所述：W=$\left\{\begin{array}{l}{1840x+36800（1≤x≤5）}\\{-80（x-4）^{2}+46080（5＜x≤10）}\end{array}\right.$．

点评 此题主要考查了二次函数的应用以及分段函数，如何分段，怎样表达每个分段函数，并比较确定最大值是解本题的关键．