Question

【题目】如图，于点,为等腰直角三角形，，当绕点旋转时，记.

(1)过点作交射线于点，作射线交射线于点.

①依题意补全图形，求的度数;

②当时，求的长.

(2)若上存在一点，且，作射线交射线于点，直接写出长度的最大值.

Answer 1

【答案】（1）①见解析， 45°②7；（2）见解析，

【解析】

（1）①作于点H,交的延长线于点，证明AHO≌AGB, 即可求得∠ODC的度数；

②延长交于点，利用条件可求得AK、OK的长度，于是可求OD的长；

（2）分析可知，点B在以O为圆心，OB为半径的圆上运动（个圆），所以当PB是圆O的切线时，PQ的值最大，据此可解.

解：（1）①补全图形如图所示，过点作于点H,交的延长线于点，

∵，，，

∴∠AGB=∠AHO=∠C =，

∴∠GAH=，

∴∠OAH+∠HAB=∠GAB+∠HAB=,

∴∠OAH =∠GAB, 四边形为矩形，

∵为等腰直角三角形，

∴OA=AB,

∴AHO≌AGB,

∴AH=AG,

∴四边形为正方形，

∴∠OCD=45°，

∴∠ODC=45°；

②延长交于点，

∵，OA=5，

∴AK=4,

∴OK=3,

∵∠ODC=45°，

∴DK=AK=4

∴ ；

（2）如图，

∵绕点旋转，

∴点B在以O为圆心，OB为半径的圆上运动（个圆），

∴当PB是圆O的切线时，PQ的值最大，

∵

∴

∴∠OPB=45°,

∴ OQ=OP=10，

∴.

∴长度的最大值是.