Question

（9分）已知，，（如图）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．
（1）设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；
（3）连结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．

Answer 1

解：（1）取中点，连结，
为的中点，，．································ 1分
又，．·································································· 2分
，得；··············································· 3分
（2）过D作DP⊥BC，垂足为P，∠DAB=∠ABC=∠BPD=90°，
∴四边形ABPD是矩形．
以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，
，又，∴DE=BE+AD-AB=x+4-2=x+2……4分
PD=AB=2，PE= x-4，DE²= PD²+ PE²，…………………………………………………5分
∴（x+2）²=2²+（x-4）²，解得：．
∴线段的长为．…………………………………………………………………………6分
（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，
又易证得．··································································· 7分
由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．
①当时，，．．
，易得．得；················································ 8分
②当时，，．
．又，．
，即=，得x²=[2²+（x-4）²]．
解得，（舍去）．即线段的长为2．······································· 9分
综上所述，所求线段的长为8或2．

略