Question

5．如图，⊙O中，点A为$\widehat{BC}$中点，BD为直径，过A作AP∥BC交DB的延长线于点P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若$BC=4\sqrt{5}$，AB=6，求sin∠ABD的值．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理得出AO⊥BC，进而根据平行线的性质得出AP⊥AO，即可证得结论；
（2）根据垂径定理得出BE=2$\sqrt{5}$，在RT△ABE中，利用锐角三角函数关系得出sin∠BAO=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，再根据等腰三角形的性质得出∠ABD=∠BAO，即可求得求sin∠ABD=sin∠BAO=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

解答 （1）证明：连结AO，交BC于点E．
∵点A是$\widehat{BC}$的中点
∴AO⊥BC，
又∵AP∥BC，
∴AP⊥AO，
∴AP是⊙O的切线；
（2）解：∵AO⊥BC，$BC=4\sqrt{5}$，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5}$，
又∵AB=6
∴$sin∠BAO=\frac{BE}{AB}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
∵OA=OB
∴∠ABD=∠BAO，
∴$sin∠ABD=sin∠BAO=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．

点评 此题主要考查了切线的判定，垂径定理的应用，等腰三角形的性质以及锐角三角函数关系，正确转化角度得出$sin∠ABD=sin∠BAO=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$是解题关键．