Question

1．设a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，…，a_n=（2n+1）²-（2n-1）²（n为大于0的自然数）．
（1）探究a_n是否为6的倍数，并用文字表述出你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，例如：1，4，9，16，…，是“完全平方数”．试写出a₁，a₂，a₃，…，a_n，这一列数中从小到大排列的前3个“完全平方数”．

Answer 1

分析 （1）将a_n的表达式根据平方差公式计算出来，看是否是8的倍数．
（2）由（1）可得$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{8n}$=2$\sqrt{2n}$，根据该式依次列出所需的完全平方数即可．

解答 解：（1）a_n不是为6的倍数．
理由：根据平方差公式计算a_n=（2n+1）²-（2n-1）²=（2n+1-2n+1）（2n+1+2n-1）=8n，
故a_n是8的倍数，不是6的倍数．
这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数．

（2）∵a_n=8n，
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{8n}$=2$\sqrt{2n}$，
∴当n分别取2、8、18时得到一列数中从小到大排列的前3个“完全平方数”．
n=2时，a_n=16，
n=8时，a_n=64，
n=18时，a_n=144，
∴这一列数中从小到大排列的前3个“完全平方数”为：16、64、144．

点评 此题考查了完全平方数的知识以及平方差公式的应用．注意利用平方差公式求得a_n=8n是关键．